거센 파도가 치는 바다 위 높은 절벽에 한 가족이 서 있습니다. 이들은 단순히 럭셔리해 보이는 것이 아니라, 뭔가 이상한 행동을 하고 있습니다. 이 가족은 바로 복씨 가문으로, 실세인 복만흠(고두심 분)은 딸 복동희(수현 분)에게 다시 하늘을 날아보라고 요구합니다. 동희는 든든한 체격을 자랑하지만, 결국 겨우 점프만 할 뿐 날지 못하고 버둥거릴 뿐입니다. 한숨을 쉬던 만흠은 이번에는 아들 복귀주(정기용 분)에게 과거로 돌아가 보라고 다그칩니다. 그러나 귀주는 술만 벌컥벌컥 들이키며 어머니의 말을 무시할 뿐입니다.
언뜻 보면 만흠이 가족들에게 터무니없는 요구를 하는 것처럼 보입니다. 그러나 사실 이 가족은 진짜 초능력을 가진 초능력 가족입니다. 문제는 현재 모두 각자의 능력을 잃어버렸다는 것입니다. 그것도 현대인의 질병 때문에 말이죠.
예지몽을 통해 미래를 알 수 있었던 만흠은 불면증 때문에 더 이상 꿈을 꾸지 못하게 되었습니다. 자유롭게 하늘을 날아다니던 동희는 비만 때문에 몸이 무거워져서 날지 못하게 되었습니다. 행복했던 과거로 돌아갈 수 있었던 귀주는 우울증에 걸려 타임슬립을 할 수 없게 되었습니다. 게다가 귀주의 딸이자 사춘기 소녀인 복이나(박소이 분)는 나이가 14살이 되도록 초능력이 나타나지 않아 가족의 걱정을 더욱 증폭시키고 있습니다.
복씨 가문의 능력을 영영 잃어버릴까 봐 걱정이 가득한 만흠은 피로를 풀기 위해 마사지숍을 자주 찾습니다. 만흠은 자신을 잠들게 하면 100만 원을 주겠다고 직원들에게 제안하지만, 지금까지 성공한 사람은 아무도 없었습니다.
그러던 어느 날, 신입 마사지사 도다해(천우희 분)가 자원해서 만흠의 관리를 맡게 됩니다. 이전과는 다르게 야무진 다해의 손길에 만흠은 잠에 빠져들고 맙니다. 오랜만에 깊은 잠에 든 만흠은 기쁨에 다해를 찾습니다. 며칠 전 물에 빠진 자신의 아들 귀주를 구해준 사람이 다해라는 사실도 알게 됩니다. 게다가 며칠 뒤, 다해가 복씨 가문의 반지를 끼고 있는 예지몽까지 꾸게 되면서, 만흠은 다해가 가족들을 구해줄 구원자라고 확신하게 됩니다.
이후 만흠은 다해와 아들 귀주의 결혼을 적극적으로 지원하기 시작합니다. 집으로 초대하고, 귀주와 단둘이 있을 시간을 마련해주는 등 모든 지원을 아끼지 않습니다. 다해는 이러한 상황에 부담을 느끼면서도 능숙하게 대처합니다. 사실, 다해에게도 숨겨진 비밀이 있기 때문입니다.
다해는 부모님 없이 어렵게 자랐다고 했지만, 사실은 어머니와 동생, 삼촌도 있습니다. 이 가족은 잘사는 귀주네 집 돈을 빼돌릴 계획을 세운 치밀한 가족 사기단이었습니다. 한마디로 다해는 사기 결혼을 계획하고 있었던 것입니다.
복씨 가문과 다해의 이야기가 어떻게 펼쳐질지, 그들의 운명은 어떻게 될지 궁금증을 자아냅니다. '히어로는 아닙니다만'은 복잡한 현대 사회에서 가족과 사랑, 그리고 각자의 상처를 치유해가는 과정을 흥미롭게 그린 드라마입니다. 초능력을 잃어버린 가족과 그들의 능력을 되찾기 위해 벌이는 좌충우돌 이야기, 그리고 그 과정에서 피어나는 감동적인 순간들을 놓치지 마세요. 이 드라마는 우리의 일상 속에서 잃어버린 것들을 되찾기 위한 여정을 그려내며, 진정한 히어로는 멀리 있지 않다는 메시지를 전달합니다.